A proposito di serie divergenti

matematica formule equazioni
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È possibile che una serie numerica,  divergente in base alla sua definizione, sia anche convergente nel senso che si “dimostri” l’esistenza di valori finiti per la stessa?
È quanto ammettono implicitamente matematici del calibro di Eulero, Srinivasa Aiyangar Ramanujan, Godfrey Harold Hardy e quanti
altri. A pagina 1 del suo libro “Divergent series “, Hardy riporta la definizione di serie divergente – la somma n-sima tende ad un valore non finito- e come esempio riporta 1+1+1+…….. , ma a pagina 333 scrive 1+1+1+…… = -1/2 (1) in base al fatto che ζ(s) (serie di Riemann) ha come limite della sua equazione funzionale, per s tendente a 0, -1/2,e d’altra parte ζ(0) = 1+1+1+… ,quindi la (1) senza giustificazione per quanto scritto in precedenza.

Questa situazione si ripete per tutti gli ζ(-k), per es. ζ(-1) = -1/12 (dalla equazione funzionale di ζ(s)
ma ζ(-1) = 1+2+3+…… = -1/12 , anche se tale serie è palesemente divergente.
Nel suo libro “Piramidi di problemi”,in una nota a piè pagina, Claudio Bartocci scrive: “l’eguaglianza apparentemente paradossale 1+1+1+….= -1/2 va interpretata come somma di ζ(0),ma se è apparentemente paradossale sarebbe sostanzialmente vera, ma poi chiarisce che è ζ(0)= -1/2 come interpretazione corretta: nel 1828 Abel scrisse che le serie divergenti erano una invenzione del diavolo,per le contraddizioni che comportano.
Innanzitutto non trova giustificazione il fatto che la somma di numeri interi e positivi possa essere razionale e negativa: l’insieme dei n. interi, ancorché infiniti, è chiuso rispetto all’addizione, e se tale somma esiste,non può essere razionale.
Circa la possibilità che una serie divergente sia anche convergente,si potrebbe far ricorso a logiche a più valori, che però non sono sempre utilizzabili, Nella dicotomia vero-falso, mentre è concepibile una parziale verità, in quella finito-infinito è inconcepibile una parziale infinità.

L’insorgere di queste situazioni contraddittorie deriva dall’utilizzo, per le ζ(-k) della proprietà transitiva della eguaglianza, senza preoccuparsi della sua validità per le serie divergenti.
Un suo ulteriore utilizzo porterebbe a strane eguaglianze : per ζ(0) si avrebbe +∞ = -1/2 e per ζ(-1) +∞ = -1/12. Ma nel caso di ζ(-2) ed in tutti gli ζ(-2k), identicamente nulli, +∞= 0 semplicemente assurdo !
Per uscire dall’impasse la mia proposta è semplice: la proprietà transitiva della eguaglianza non sussiste per le serie divergenti,per cui ζ(0) = -1/2 ma 1+1+1+…. è divergente e così per tutte le Ζ(-k),anche se ζ(0) = 1+1+1+…. e ζ(-1) = 1+2+3+….. .
Si verifica qualcosa di analogo a quanto accade nel mondo sub-nucleare : a seconda del contesto sperimentale una stessa particella ha comportamento particellare (effetto fotoelettrico) oppure ondulatorio con frange di interferenza, fenomeni diversi prodotti dallo stesso fotone o elettrone.
E così le serie divergenti ridiventano …. un’invenzione dell’uomo, con buona pace di Abel.
Vittorio Fiorillo

p.s.: stranamente i libri che trattano l’argomento si limitano ad esemplificare ζ(0) e ζ(-1) ,
ma non ζ(-2) .

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