Ai fisici piace in gruppo. I gruppi di Lie e l’unificazione delle forze.

pi greco
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È noto dai tempi dei Babilonesi e, didatticamente, dalle prime classi delle scuole superiori, che esiste una semplice formula algebrica che ci consente di determinare le soluzioni di qualsivoglia equazione di 2° grado:

e precisamente:

Formule algebriche, che consentono il calcolo delle soluzioni di qualsiasi equazione di 3° e 4° grado, furono “escogitate” nel XVI secolo da alcuni matematici italiani, quali Niccolò Fontana, detto Tartaglia, Gerolamo Cardano e Ludovico Ferrari. I matematici, invogliati dalle formulazioni algebriche dei loro colleghi o costretti dai frequenti mal di testa delle proprie mogli, tentarono invano di proseguire il cammino intrapreso finché, alla fine del Settecento e agli inizi dell’Ottocento, Paolo Ruffini e Niels Abel non decretarono la completa inammissibilità di soluzioni algebriche per equazioni dal 5° grado in su.
Pochi anni dopo questa scoperta, il giovane, poco più che ragazzo, matematico francese Evaristo Galois, morto in duello a soli 21 anni per difendere l’onore di una donna, risolse questo annoso problema introducendo il concetto di gruppo di permutazioni delle soluzioni, dove per permutazione degli elementi di un insieme s’intende la semplice modalità di ridisposizione. Galois scoprì che i gruppi alterni, formati dalle permutazioni ottenute con un numero pari di scambi, che contengono più di 4 elementi sono semplici, cioè “fattorizzabili” solo con se stessi e con il gruppo unitario (costituito di un unico elemento). Da qui l’impossibilità di trovare formule algebriche per risolvere equazioni di grado superiore al 4°.
Ma la teoria dei gruppi, una volta avviata, non si fermò più e non interessò solo la matematica pura. A metà dell’Ottocento Augusto Bravais, studiando i cristalli dei minerali, introdusse il concetto di gruppo di simmetria, in cui particolari trasformazioni geometriche, come le rotazioni nel piano o nello spazio, lasciano invariati poligoni e poliedri regolari. Gruppi di simmetria particolarmente interessanti sono quelli inerenti alle infinite rotazioni del cerchio e della sfera, gruppi continui come quelli di Lie, che andremo ora ad esaminare.

Prima di procedere ecco un breve excursus sul concetto di gruppo.
Un gruppo è un insieme non vuoto G di elementi generici fra i quali è definita un’operazione binaria * tale che:

a) G è chiuso rispetto all’operazione *, cioè se x, y sono elementi di G, anche z = x * y è un elemento di G;
b) l’operazione * è associativa, ossia se x, y, z sono elementi di G, si ha: x * (y * z) = (x * y) * z;
c) in G esiste un elemento unità (neutro) e tale che, se x appartiene a G, si abbia: x * e = e * x = x;
d) ogni elemento x di G ammette in G un inverso x’ per cui risulti: x * x’ = x’ * x = e.

Ritornando ai gruppi continui di trasformazioni, essi furono classificati, per la prima volta nel 1874, dal matematico norvegese Marius Sophus Lie. Li possiamo definire come quei gruppi continui di trasformazioni, che ammettono un sistema di coordinate locali rispetto al quale le operazioni interessate sono analitiche.
Benché un gruppo di Lie coinvolga operazioni analitiche, essendo continuo quindi infinito, è sempre possibile delinearne gli elementi costitutivi specificando un numero finito di parametri, peculiarità detta dimensione del gruppo. Il gruppo delle rotazioni del cerchio, isomorfo al gruppo delle matrici unitarie U(1), ha dimensione 1, perché basta specificare solo l’angolo di rotazione. Invece il gruppo delle rotazioni della sfera, isomorfo alle matrici speciali ortogonali SO(3), ha dimensione 3, perché bisogna specificare sia la longitudine, sia la latitudine che l’angolo di rotazione.
In effetti la classificazione di tutti i gruppi semplici di Lie portò alla definizione di 4 famiglie infinite, formate tutte da gruppi i cui elementi sono matrici quadrate a N righe ed N colonne, distinguibili in base alle proprietà di queste ultime e degli spazi in cui “lavorano“. Inoltre ci sono 5 gruppi, cosiddetti sporadici, che non rientrano in alcuna delle 4 famiglie, chiamati G2, D4, E6, E7 ed E8, aventi dimensione, rispettivamente. 14, 52, 78, 133 e 248.

La teoria dei gruppi di Lie è oggi il linguaggio che permette di esprimere le teorie unificate di campo della fisica delle particelle e svelare tutta la loro bellezza. I fisici teorici hanno scoperto che le forze elettromagnetica, nucleare debole e nucleare forte rispettano particolari simmetrie di rotazione di fase dei campi, necessarie per definire gli operatori di campo, detti anche operatori di creazione ed annichilazione, di scambio di carica delle particelle e di scambio di cariche di “colore” nei quark, e che le proprietà di queste simmetrie sono descritti dai gruppi di Lie U(1) per il campo elettromagnetico (QED o elettrodinamica quantistica), SU(2) per il campo nucleare debole ed SU(3) per quello forte (QCD o cromodinamica quantistica). Le rispettive dimensioni di questi gruppi sono 1, 3 e 8, corrispondenti al numero di bosoni (particelle messaggere) che trasmettono queste forze: un fotone, 3 bosoni deboli (W+, W- e Z0) e 8 gluoni.
Il primo tentativo di descrizione matematica di queste simmetrie fu compiuto dal fisico cinese Chen Ning Yang e dal fisico americano Robert Mills nel 1954, i quali adoperarono il gruppo SU(2) per la descrizione di alcune simmetrie delle interazioni forti, anziché deboli, come più tardi si sarebbe appurato, riassunta nelle celeberrime, per i fisici teorici, equazioni di Yang-Mills.
Il secondo tentativo fu effettuato dal fisico americano Murray Gell-Mann, all’inizio degli anni sessanta, che utilizzò il gruppo SU(3) per la determinazione delle simmetrie di sapore, anziché delle cariche di “colore“, dei quark e che gli valse il premio Nobel per la fisica nel 1969.
L’identificazione, alla fine degli anni sessanta, di SU(2) x U(1) come gruppo caratteristico della teoria elettrodebole da parte dei fisici americani Sheldon Glashow, Steven Weinberg e del fisico pakistano Abdus Salam fruttò loro il premio Nobel per la fisica nel 1979 e spianò la strada ai tentativi di unificazione delle forze in natura tramite teorie quantistiche dei campi che utilizzassero appropriati gruppi di Lie. Voglio specificare che SU(3) fu riclassificato, all’inizio degli anni settanta dallo stesso Weinberg e dai fisici americani Frank Wilczek e David Gross, come il gruppo caratteristico della cromodinamica quantistica, conosciuta con l’acronimo QCD, quindi come gruppo di simmetria per trasformazioni che coinvolgevano lo scambio di cariche di “colore” tra gluoni e quark.
In quegli anni si respirava un’aria di crescente fiducia nella possibilità di usare i principi dei gruppi di simmetria per sviluppare teorie sempre più ardite. La dimestichezza di Gell-Mann con la teoria dei gruppi di Lie lo condusse a prevedere l’esistenza delle cariche frazionarie dei quark, sebbene tutte le particelle note fino ad allora possedessero carica intera. Quando, qualche anno dopo, gli acceleratori iniziarono a fornire le prime prove evidenti dell’esistenza di queste ipotetiche particelle, il trionfo di questa teoria in fisica quantistica si palesò a tutti.

Finalmente i tasselli del gigantesco puzzle, che risponde al nome di fisica delle particelle elementari, cominciavano ad incastrarsi bene e tuttavia i fisici continuavano ad avvertire un sospeso disagio intellettivo, tormentati dall’evidenza osservativa che l’universo fosse pieno di “assenza” di simmetria, ad iniziare dalla differenza di massa tra particelle appartenenti alla stessa famiglia: i fotoni, bosoni di massa nulla, vettori dell’interazione elettromagnetica, ed il tripletto dei “pesantissimi” bosoni intermedi W+, W- e Z0, messaggeri dell’interazione debole.
Per queste particelle, previste dalla teoria unificata elettrodebole, SU(2) x U(1), di Glashow-Salam-Weinberg, la differenza di massa venne attribuita ad una rottura spontanea della simmetria, avvenuta durante il processo di raffreddamento dell’universo primordiale, così come accade con i magneti elementari delle sostanze ferromagnetiche che, al di sotto di una temperatura critica, si allineano in coppie che, gradualmente, si compattano in piccoli domini magnetici.
Alle altissime temperature iniziali, subito dopo il Big Bang, le particelle erano essenzialmente identiche e le interazioni deboli ed elettromagnetiche si manifestavano in un’unica forza, trionfalmente verificata nel 1983 dal fisico italiano Carlo Rubbia, premio Nobel per la fisica l’anno successivo. Il meccanismo di rottura della simmetria però comportava l’esistenza del cosiddetto bosone di Higgs, demiurgo della comparsa di particelle massive, in accordo con l’evidenza sperimentale. Sappiamo tutti che questa questione è all’ordine del giorno nelle comunità dei fisici che lavorano presso i più potenti acceleratori di particelle.
Il progresso verso l’unificazione finale delle forze in natura transita dunque attraverso la determinazione di un appropriato gruppo di Lie che contenga il prodotto SU(3) x SU(2) x U(1),  teoria divenuta nota come Modello Standard. Il minimo gruppo semplice di Lie, che soddisfi matematicamente al requisito, è il gruppo SU(5), a 24 dimensioni, ma non sembra appropriato fisicamente, perché apre questioni di non semplice soluzione: la grande unificazione (GUT) basata su di esso prevede infatti fenomeni dubbi quali un decadimento troppo veloce del protone e l’esistenza di monopoli magnetici.
Il gruppo di Lie su cui oggi si punta per una teoria unificatrice, che comprenda anche la gravità, mette in gioco il massimo gruppo sporadico E8 combinato con se stesso: E8 x E8 e, avendo dimensione doppia di 248, prevede l’esistenza di 496 bosoni di campo, di cui sono noti soltanto i 12 già citati.
Una teoria unificata di tutte le forze richiede certamente idee nuove e ardimentose. Un’eccitante possibilità sembra derivare da un’insolita simmetria, denominata SUSY, da SUperSYmmetry (supersimmetria), che trasforma i bosoni, i mediatori delle forze in gioco, a spin intero, nei fermioni, quali leptoni e quark, di spin semi-intero, costituenti fondamentali della materia e viceversa. Cercando di unificare particelle con peculiarità così diverse, questa simmetria, oltre ad ipotizzare l’esistenza di partner supersimmetrici da ambo le parti, fa intravedere anche la possibilità di integrare la gravitazione con le altre forze esaminate.
Infine le più recenti ricerche nel campo della fisica teorica prospettano la sostituzione delle particelle elementari, come oggetti fondamentali, con entità unidimensionali chiamate “stringhe“, che “agiscono” in spazi pluridimensionali, un quadro che farebbe entrare, se fosse vero, in una teoria di campo quantistica anche la gravità.

Angelo Grimaldi

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