I Babilonesi e la formula risolutiva dell’equazione di 2° grado

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In qualche libro di matematica divulgativa c’è scritto che i Babilonesi conoscevano la formula risolutiva dell’equazione di 2° grado, il che è inesatto.
I Babilonesi utilizzavano un algoritmo posizionale per risolvere il problema di trovare due numeri di cui si conosce somma e prodotto,problema questo riconducibile ad una equazione di 2° grado: infatti se x + y = a e  xy = b per sostituzione si ha x²- ax + b =0 che dà
soluzioni reali per a≥ 2√b.

Ora partendo dalla formula generale dell’equazione di 2° grado ed utilizzando l’algoritmo babilonese, è possibile ottenere la sua formula risolutiva, non senza aver prima convertito in un sistema di equazioni di 1° grado (somma e prodotto):

a x² + b x + c = 0x² + b/a x + c/a = 0x( x + b/a ) + c/a = 0 x + b/a = y
da cui
y – x = b/a  xy =- c/a

A tale sistema si applica l’algoritmo y = z + b/2a; x = z – b/2a
e moltiplicando membro a membro xy = z² – (b/2a )² =- c/a z² = b²/4a² – c/a

z = ±√(b²- 4ac)/2a ; x = – b/2a + z = – b/2a ±√ (b²-4ac)/2a

Si noti che non è arbitraria la posizione babilonese, ponendo infatti y = z + b/ka, x = z – b/ka, con k parametro arbitrario, la differenza y – x = 2b/ka e quindi necessariamente k = 2 perché y – x = b/a.

La formula risolutiva dell’equazione di secondo grado è importante anche dal punto di vista storico della matematica perché i primi casi di numeri complessi si ebbero proprio con la risoluzione di tale equazione con il radicando negativo.
Comunque l’equivalenza, ampiamente dimostrata, tra il problema di trovare due numeri di cui si conosce somma e prodotto e la formula dell’equazione, ci consente di dire che se è inesatto affermarne la conoscenza da parte dei Babilonesi, un certo merito deve essere pur loro attribuito.
Vittorio Fiorillo

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