I numeri primi, questi sconosciuti

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Molti studenti delle scuole medie inferiori (e molti adulti, ahimè!) hanno difficoltà a capire cosa sono i numeri primi e perché essi siano così importanti nello studio della Matematica. Uno dei motivi è che sia molti genitori che molti docenti presentano la Matematica in maniera completamente errata, considerando i numeri primi come le avanguardie di un mondo misterioso che solo in pochi riescono a capire. Ma non è così: basta porsi l’obiettivo di imparare e utilizzare il cervello per quello che sa fare meglio, cioè ragionare!

La prima testimonianza della consapevolezza della conoscenza umana dei numeri primi è l’osso di Ishango, un osso di babbuino su cui sono incise delle scalfitture corrispondenti ai numeri primi compresi tra 10 e 20: risale ad un periodo compreso tra il 20.000 A.C. e il 18.000 A.C.: pensate solo che l’agricoltura fu introdotta solo a partire dal 10.000 A.C.! Si può ammirare questo reperto al Real Museo di Scienze Naturali di Bruxelles, in Belgio.

Il concetto fondamentale per i numeri primi è quello di divisibilità: si dice che un numero, chiamiamolo n, è divisibile per un altro, m, se l’operazione “n diviso m” ha come resto 0: 100 è divisibile per 2 perché 100 diviso 2 fa 50 con resto 0, mentre 23 non è divisibile per 5, perché 23 diviso 5 fa 4 con resto 3.
Esiste il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica che recita che “Un numero o è primo o si può esprimere come prodotto di numeri, ognuno dei quali primo, detti fattori. Se si scrivono i fattori in maniera ordinata tale rappresentazione è unica“. Questa è un’affermazione molto forte, ed è facilmente dimostrabile seguendo il ragionamento fatto da Gauss, ma il risultato era già noto ad Euclide che lo dimostrò tra il IV e il III Secolo A.C.. Per brevità lo assumeremo come vero, ma la dimostrazione è veramente molto semplice: basandosi su questo teorema i nostri professori ci facevano fare la famigerata “scomposizione in fattori primi” nei compiti in classe (che adesso si chiamano verifiche).
I numeri primi sono quelli che ammettono come unico divisore sé stessi, oltre l’unità: questa definizione esclude il numero 1 da questa categoria (in quanto 1 è divisibile solo per 1); ed ecco la prima sorpresa: il numero 1 non è un numero primo!
Il numero 2 è un numero primo, mentre tutti gli altri numeri pari sono divisibili per 2 e quindi non sono primi: il numero 2 è l’unico numero primo che è anche pari.
Gli altri numeri primi sono, in ordine: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,… Il numero 9 è divisibile per 3, il 15 per 3 e per 5, il 21 per 2 e per 7, ecc. Ho volutamente messo i tre puntini alla fine della lista dei numeri primi: in Matematica quando si mettono i 3 puntini significa che la lista non ha termine, ovvero è infinita. Ma questo risultato vorrei dimostrarlo per esteso: è il “Teorema dell’infinità dei numeri primi“.

La dimostrazione del Teorema è fatta per assurdo, cioè si nega la tesi e si arriva ad un assurdo, per cui la tesi è vera. Siano finiti i numeri primi e sia n il loro numero: indicheremo con p1, p2, …, pn i differenti numeri primi, presi nell’ordine naturale. Indichiamo con q il numero che si ottiene moltiplicando tra loro tutti i numeri primi e aggiungendo 1, cioè:
q = p1p2…pn+1
Per definizione q non è divisibile per nessuno degli n numeri primi, in quanto la divisione per uno qualunque dei pi dà sempre resto 1. Quindi o q è primo, o è divisibile per qualche numero primo non considerato nei primi n numeri primi dell’ipotesi; in entrambi i casi esiste almeno un numero primo maggiore di tutti i p1, …, pn primi, che non sono finiti.
Questa dimostrazione molto facile fu scritta per la prima volta da Euclide negli “Elementi”. Come vedete non c’è da spaventarsi!
Enrico Cirillo

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