Il meraviglioso mondo di Pi Greco

pi greco
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Il giorno 14 Marzo di ogni anno nelle comunità matematiche di tutto il mondo si festeggia il Pi Day, ovvero il giorno dedicato a Pi Greco. Perché? Perché Pi greco vale 3.14… e il giorno 14 Marzo si scrive proprio 14-3 (in inglese il mese si premette al giorno, per cui 3.14 è proprio la maniera in cui si scrive 14 Marzo).
Ma il 14 Marzo è una data importante anche per un altro fatto: il 14 Marzo 1879 nasceva ad Ulm Albert Einstein, il grande genio della Fisica.

La prima volta che si festeggiò il Pi Day fu nel 1988 ad opera del fisico Larry Shaw e da allora in molte università di tutto il mondo si festeggia questa ricorrenza. Ma precisamente quanto vale Pi Greco? E cosa si cela dietro questo numero trascendente, cioè che non è soluzione di alcuna equazione algebrica?

Tutti i cerchi del mondo sono simili, cioè è possibile definire il rapporto tra una circonferenza e il diametro di un cerchio qualsiasi, perché è costante e vale appunto π: la dimostrazione è abbastanza semplice.
Consideriamo un cerchio qualsiasi e proviamo a considerare un poligono regolare di n lati inscritto e circoscritto al cerchio. Al crescere del numero di lati i poligoni tenderanno ad assumere sempre più la forma del cerchio: infatti ogni poligono inscritto ha perimetro minore di ciascun poligono circoscritto e, dato ε piccolo a piacimento, è sempre possibile trovare un n dal quale in poi tutti i perimetri dei poligoni circoscritti differiranno da quelli inscritti meno di ε. Per cui è lecito definire un numero c come limite dei perimetri inscritti e circoscritti. Vediamo come questo numero dipenda solo dal diametro della circonferenza (o dal raggio).

Siano C e C’ due circonferenze di raggio R e R’. Sia n un numero qualsiasi, grande a piacimento e siano Pi e Pi’ i poligoni regolari inscritti di n lati in C e C’. Si vede immediatamente che, se pi e pi’ sono i perimetri dei due poligoni inscritti, pi :pi’=R:R’ (basta spostare i due cerchi in modo che condividano lo stesso centro e guardare i triangoli che si formano). Anche per i poligoni circoscritti Pc e Pc’ vale lo stesso argomento, per cui pc:pc’=R:R’. Sappiamo che pi<c<pc e che pi’<c’<pc’, per cui, moltiplicando per R’/R, si ottiene:
piR’/R < c R’/R < pc R’/R e, sostituendo, pì’ < cR’/R < pc’. Questo vale per ogni numero n.

Ma sappiamo che pi’ < c’< pc’ e che, per una nota proprietà dei numeri reali, l’elemento di separazione tra i perimetri inscritti e quelli circoscritti è unico, così si ottiene che cR’/R=c’, ovvero che c:c’=R:R’. Per cui si può parlare di rapporto unico tra circonferenza e raggio o tra circonferenza e diametro. Quindi si può definire π come rapporto costante tra circonferenza e diametro di qualsiasi cerchio.
Quanto vale questo rapporto? Per molti secoli gli scienziati di ogni latitudine hanno provato a trovare la quadratura del cerchio, cioè a costruire il quadrato con superficie equivalente al cerchio. gli antichi babilonesi usavano il valore (16/9)², mentre Archimede usava l’approssimazione 223/71 < π < 22/7, calcolando il rapporto tra perimetro di un poligono di 96 lati inscritto e circoscritto e diametro della circonferenza.

Altri valori notevoli sono quelli che usava Brahmagupta (√10) e Zu Chongzhi (355/113).
Nel 1794 Legendre dimostra che π² è irrazionale, ma è solo nel 1882 che von Lindemann dimostra la trascendenza di π, dimostrando di fatto che è impossibile la quadratura del cerchio.
Al momento sono state calcolate cinquemila miliardi di cifre esatte di π da Shigeru Kondo.
Enrico Cirillo

 

 

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