La Matematica è bellezza!

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Quando, tempo fa, pubblicammo la lista di quelle che secondo noi erano le formule più belle mai scoperte o inventate dall’uomo, al primo posto ponemmo la famosa Formula di Eulero:

    \[e^{i \pi} + 1 = 0\]

In questa semplicissima formula sono racchiusi tutti i simboli fondamentali dell’Aritmetica, del Calcolo e dell’Algebra: i numeri 0 e 1, coi simboli ‘+’ e ‘=’, che da soli sono sufficienti per costruire tutta l’Aritmetica, e i numeri e, i e \pi, che sono fondamentali per Calcolo e Algebra. Vediamo più da vicino questi ultimi tre numeri per apprezzarne maggiormente la bellezza.

Partiamo da quello che conosciamo sicuramente meglio: \pi, il cui valore approssimato è il famigerato 3,14… che ha popolato di incubi le menti di più di uno studente. È tecnicamente un numero decimale illimitato non periodico, un numero irrazionale trascendente: non esiste una rappresentazione razionale di questo numero, per quanti sforzi si facciano, e non esiste neanche un polinomio a coefficienti razionali che abbia \pi come soluzione. Gli antichi Babilonesi avevano già capito che in un qualsiasi cerchio il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro è costante, cioè vale sempre lo stesso numero. Avevano trovato l’espressione approssimata di \pi=\frac{22}{7}=3,1428....Anche gli antichi Egizi avevano trovato che il valore di \pi era compreso tra \frac{223}{71} e \frac{22}{7}.

I Cinesi calcolarono una migliore approssimazione di \pi=\frac{355}{113}.

La costante \pi compare in tutta la Geometria piana e solida che abbiamo studiato alle Scuole Medie: per questo è molto comune, anche se il suo valore esatto non è noto. Conosciamo con esattezza moltissime sue cifre: con algoritmi estremamente veloci e computer molto potenti siamo riusciti a calcolarne con esattezza 5000 miliardi di cifre, anche se nell’uso comune è più che sufficiente la sua approssimazione a 3,14.

Ci sono ancora cose nascoste su \pi: ad esempio non si sa se \pi è un numero normale, cioè se la frequenza con cui appaiono le sue cifre è costante in qualsiasi base venga espresso (in realtà non sappiamo neanche se esistono una o più cifre che non appaiono più dopo un numero fisso di cifre).

Passiamo ad e, il numero di Nepero (o anche di Eulero, anche se quando lo usò Eulero il suo valore era stato già calcolato da Napier-Nepero), base dei logaritmi naturali e strumento fondamentale per tutto il calcolo. Il suo valore è 2,718281… ed è definito come:

    \[e = \lim_{n} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n\]

Grazie a Nepero i mercanti riuscivano a fare moltiplicazioni difficili trasformandole in logaritmi, e questa cosa ha aiutato a diffondere le attività commerciali in giro per il mondo. Anche le formule per i prestiti e per i mutui si basano sul valore di questa costante. Anche e è un numero decimale illimitato non periodico, irrazionale trascendente e come \pi il suo valore è conosciuto con moltissime cifre decimali, anche se non le conosciamo tutte per lo stesso motivo di cui sopra.

Infine i, la base dei numeri immaginari. La definizione è:

    \[i = \sqrt{-1}\]

e, come si può vedere, non ha riscontro nei numeri reali, da cui il nome. Questo numero è veramente il più misterioso di tutti e tre i numeri considerati, ma ha un’importanza basilare nello sviluppo dell’Analisi Matematica. Eulero, Gauss ed altri geni matematici non potevano essere soddisfatti dal fatto che

    \[x^2+1=0\]

è un’equazione in x che non ammette soluzioni reali. Con l’artificio di inventare un numero nuovo, non reale e quindi non godente di tutte le proprietà dei numeri reali fino ad allora scoperte Gauss riuscì a dimostrare che qualsiasi equazione di grado n in un’incognita ammette sempre n soluzioni, che non sono tutte necessariamente reali, ma che sono complesse e, se ammette una soluzione complessa ne ammette sempre anche la sua complessa coniugata. Un numero complesso è un numero che è dato da una parte reale e da una parte immaginaria (ad es.: x = a + i b, dove x è il numero complesso, a la sua parte reale e b la sua parte immaginaria). Il coniugato di un numero complesso è un numero che ha la parte immaginaria col segno opposto e si indica con un trattino sopra (ad es.: x = a + i b, \overline{x} = a - i b). L’equazione considerata ha come soluzioni x_1 = i e x_2 = -i.

Un numero reale è assimilabile ad un numero complesso con parte immaginaria nulla.

Ovviamente questo implica che un polinomio di grado dispari ammetterà sempre almeno una soluzione reale. Questo è il Teorema Fondamentale dell’Algebra.

Spero di aver abbastanza solleticato la vostra curiosità su questi meravigliosi numeri e, i e \pi ! Approfondite, leggete e studiate queste opere d’arte!

Enrico Cirillo

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