Quando, tempo fa, pubblicammo la lista di quelle che secondo noi erano le formule più belle mai scoperte o inventate dall’uomo, al primo posto ponemmo la famosa Formula di Eulero:
![\[e^{i \pi} + 1 = 0\]](https://www.mentinfuga.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-06b1d9ae3f0130e182edad7ccf1557cf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
In questa semplicissima formula sono racchiusi tutti i simboli fondamentali dell’Aritmetica, del Calcolo e dell’Algebra: i numeri 0 e 1, coi simboli ‘+’ e ‘=’, che da soli sono sufficienti per costruire tutta l’Aritmetica, e i numeri 
, 
e 
, che sono fondamentali per Calcolo e Algebra. Vediamo più da vicino questi ultimi tre numeri per apprezzarne maggiormente la bellezza.
Partiamo da quello che conosciamo sicuramente meglio: , il cui valore approssimato è il famigerato 3,14… che ha popolato di incubi le menti di più di uno studente. È tecnicamente un numero decimale illimitato non periodico, un numero irrazionale trascendente: non esiste una rappresentazione razionale di questo numero, per quanti sforzi si facciano, e non esiste neanche un polinomio a coefficienti razionali che abbia come soluzione. Gli antichi Babilonesi avevano già capito che in un qualsiasi cerchio il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro è costante, cioè vale sempre lo stesso numero. Avevano trovato l’espressione approssimata di 
.Anche gli antichi Egizi avevano trovato che il valore di era compreso tra 
.
I Cinesi calcolarono una migliore approssimazione di 
.
La costante compare in tutta la Geometria piana e solida che abbiamo studiato alle Scuole Medie: per questo è molto comune, anche se il suo valore esatto non è noto. Conosciamo con esattezza moltissime sue cifre: con algoritmi estremamente veloci e computer molto potenti siamo riusciti a calcolarne con esattezza 5000 miliardi di cifre, anche se nell’uso comune è più che sufficiente la sua approssimazione a 3,14.
Ci sono ancora cose nascoste su : ad esempio non si sa se è un numero normale, cioè se la frequenza con cui appaiono le sue cifre è costante in qualsiasi base venga espresso (in realtà non sappiamo neanche se esistono una o più cifre che non appaiono più dopo un numero fisso di cifre).
Passiamo ad , il numero di Nepero (o anche di Eulero, anche se quando lo usò Eulero il suo valore era stato già calcolato da Napier-Nepero), base dei logaritmi naturali e strumento fondamentale per tutto il calcolo. Il suo valore è 2,718281… ed è definito come:
![\[e = \lim_{n} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n\]](https://www.mentinfuga.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32e4728ee7085da7d86ab801e6749e66_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Grazie a Nepero i mercanti riuscivano a fare moltiplicazioni difficili trasformandole in logaritmi, e questa cosa ha aiutato a diffondere le attività commerciali in giro per il mondo. Anche le formule per i prestiti e per i mutui si basano sul valore di questa costante. Anche è un numero decimale illimitato non periodico, irrazionale trascendente e come il suo valore è conosciuto con moltissime cifre decimali, anche se non le conosciamo tutte per lo stesso motivo di cui sopra.
Infine , la base dei numeri immaginari. La definizione è:
![\[i = \sqrt{-1}\]](https://www.mentinfuga.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-57461b879d1b6e0aae7c033d09f67249_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e, come si può vedere, non ha riscontro nei numeri reali, da cui il nome. Questo numero è veramente il più misterioso di tutti e tre i numeri considerati, ma ha un’importanza basilare nello sviluppo dell’Analisi Matematica. Eulero, Gauss ed altri geni matematici non potevano essere soddisfatti dal fatto che
![\[x^2+1=0\]](https://www.mentinfuga.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-083216ba0dec748107c4598bf1e7c695_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
è un’equazione in x che non ammette soluzioni reali. Con l’artificio di inventare un numero nuovo, non reale e quindi non godente di tutte le proprietà dei numeri reali fino ad allora scoperte Gauss riuscì a dimostrare che qualsiasi equazione di grado n in un’incognita ammette sempre n soluzioni, che non sono tutte necessariamente reali, ma che sono complesse e, se ammette una soluzione complessa ne ammette sempre anche la sua complessa coniugata. Un numero complesso è un numero che è dato da una parte reale e da una parte immaginaria (ad es.: 
, dove 
è il numero complesso, 
la sua parte reale e 
la sua parte immaginaria). Il coniugato di un numero complesso è un numero che ha la parte immaginaria col segno opposto e si indica con un trattino sopra (ad es.: 
). L’equazione considerata ha come soluzioni 
e 
.
Un numero reale è assimilabile ad un numero complesso con parte immaginaria nulla.
Ovviamente questo implica che un polinomio di grado dispari ammetterà sempre almeno una soluzione reale. Questo è il Teorema Fondamentale dell’Algebra.
Spero di aver abbastanza solleticato la vostra curiosità su questi meravigliosi numeri 
e ! Approfondite, leggete e studiate queste opere d’arte!
Enrico Cirillo
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