Sin dall’antichità la Sezione Aurea, ovvero il rapporto tra due grandezze di cui la maggiore è media proporzionale tra la minore e la loro somma ha sempre affascinato gli artisti, in special modo gli scultori e gli architetti come Fidia e Vitruvio, permeandone le opere. In simboli:
dividendo tutto per e portando tutto a secondo membro si ottiene che: Φ² + Φ – 1 = 0
Quest’equazione ammette due soluzioni, una negativa e una positiva, che è l’unica ad avere senso geometrico. Le soluzioni sono:
Moltissime creazioni dell’uomo sono nate, più o meno coscientemente, pensando a questo rapporto. Ad esempio Stradivari è noto per aver creato alcuni dei violini dal suono così piacevole che sono rimasti intatti nel tempo, tanto da valere ancora oggi dei veri patrimoni: ebbene, l’arco che ne costituisce la base ha il centro di curvatura posto molto vicino al punto che costituisce la Sezione Aurea della lunghezza totale dello strumento.
Claude Debussy fu un compositore a cavallo tra XIX e XX secolo: per sua stessa ammissione il suo pezzo “Cathédrale Engloutie” è un preludio per pianoforte che si basa sulla Sezione Aurea (che lui chiama “Le divin nombre”, il numero divino); le sue 89 battute sono divise in maniera che le prime 68 hanno un tempo doppio rispetto alle ultime 21, per cui l’effetto è che il brano rallenta e le note dimezzano, come se le prime 68 battute fossero in realtà 34. Ebbene dividendo tra loro (ognuno per il successivo) i numeri 21, 34, 55 (cioè 34+21), 89 il valore che si ottiene approssima sempre meglio il rapporto aureo. Incidentalmente (ma non troppo, come vedremo) 21, 34, 55 e 89 sono anche numeri appartenenti alla successione di Fibonacci, a testimonianza dell’intima connessione tra questi numeri e la Sezione Aurea.
Anche i Genesis, il gruppo inglese di progressive rock, nel 1973 pubblicò un album dal titolo “Selling England By The Pound”, in cui il terzo brano, dal titolo “Firth of Fifth” (o “Estuario del Quinto”, giocando sull’assonanza del nome del fiume “Forth” e del termine “fourth”, cioè “quarto”) ha una divisione in battute (e contestualmente, ogni gruppo di battute ha una durata in secondi) che ricalca i numeri di Fibonacci.
Le carte di credito, molti biglietti da visita, le tessere telefoniche e quelle fedeltà dei negozi, hanno tutti la stessa caratteristica: il lato maggiore e il lato minore sono in rapporto aureo tra loro. E ci si può divertire a scovare altri elementi le cui dimensioni sono in rapporto aureo.
E l’Architetto più importante di tutti, la Natura? Anch’Essa sembra che ami la Sezione Aurea, e forse è proprio per questo motivo che questo numero è così diffuso nelle cose che ci circondano: provate a contare, nella corolla di un girasole o guardando una pigna, le spirali apparenti che formano i semi nelle due direzioni, oraria e antioraria; troverete due numeri consecutivi di Fibonacci che ormai abbiamo imparato essere in rapporto aureo tra loro. O contate i petali dei gigli: sono tre; quelli dei ranuncoli: cinque; quelli del delphinum, otto; della calendula, tredici, dell’astro, ventuno; delle margherite, 34, 55 o 89; tutti numeri di Fibonacci: impressionante, vero?
Provate a misurare la lunghezza del braccio e dell’avambraccio e fatene il rapporto: molto probabilmente il numero che verrà fuori è vicino al rapporto aureo.
Ma perché questa diffusione così capillare dei numeri di Fibonacci e del rapporto aureo? E’ per il principio di autosomiglianza che governa i processi di trasformazione delle cose come degli esseri viventi, per cui un cristallo cresce rimanendo simile a sé stesso, e un fiore, una pianta, un animale o un essere umano si riproduce conservando il proprio DNA.
Per capire la relazione tra la Sezione Aurea e i numeri di Fibonacci partiamo dalla definizione di questi ultimi: indicando con 
l’n.esimo numero di Fibonacci, per definizione avremo che:
Proviamo quindi a scrivere, definendo due numeri r e s tali che r≠s (per fissare le idee,sia r>s), definiamo
moltiplichiamo questa frazione per r+s. Otteniamo:
Riordiniamo i termini ottenendo:
ovvero:
Per cui, se esistono due valori di r e s tali che: 
avremo la condizione di Fibonacci. I due numeri sono
le soluzioni dell’equazione risolvente z² – z – 1 = 0 che ha come due soluzioni 
Dalla definizione otteniamo quindi che:
che è la bellissima ed elegante formula di Binet per calcolare i termini della successione di Fibonacci. Ma
da cui l’analogia stretta con la Sezione Aurea. Bello, vero?
Enrico Cirillo
Segui il canale TELEGRAM-----------------------------
Iscriviti alla newsletter-----------------------------
Se sei giunto fin qui vuol dire che l'articolo potrebbe esserti piaciuto.
Usiamo i social in maniera costruttiva.
Condividi l'articolo.
Condividi la cultura.
Grazie