Paradosso del compleanno, senso comune e matematica

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Quando andavate a scuola vi siete mai chiesti se c’era qualcun altro nato nello stesso giorno vostro? Magari no perché, pensando che in un anno ci sono 365 giorni, sarebbe stato molto difficile trovare un’altra persona nata il vostro stesso giorno scegliendola solo tra quelle della vostra classe.

Magari vi sarete chiesti se nella vostra classe c’erano due o più persone che festeggiavano il compleanno nello stesso giorno, forse per evitare di dover scegliere a quale partecipare nel caso ci fossero state due feste diverse e ognuna delle due persone vi avesse invitato.

Pensate che il numero sia lo stesso, più o meno? Il paradosso del compleanno non è un paradosso logico, un’antinomia, ma piuttosto un risultato che va contro il senso comune. Infatti le due probabilità sono molto diverse tra loro, e sono molto diverse da quelle che ognuno può immaginarsi!

Secondo voi quante persone ci vogliono per avere almeno il 50% di probabilità di avere un’altra persona col nostro stesso compleanno? E quante ce ne vogliono perché ce ne siano almeno due che hanno lo stesso compleanno?

Le risposte: nel primo caso occorrono ben 253 persone, mentre nel secondo ne bastano 23. Non ci credete? Ve lo dimostro!

Per fissare le idee, visto che il risultato finale non cambia molto, immaginiamo che gli anni siano tutti fatti di 365 giorni, e che sia equiprobabile nascere in qualunque giorno dell’anno. Questo non è vero, ma se consideriamo le percentuali vere e l’anno fatto di 365 giorni la soluzione non si sposta di molto .

Calcoliamo la probabilità che una persona sia nata il mio stesso giorno: la probabilità che non sia nata il mio stesso giorno è \frac{364}{365}=99,7\%, perché ci sono 364 possibilità su 365 che sia nata in un giorno diverso, per cui 1 - \frac{364}{365}=0,3\% è la probabilità che invece sia nata il mio stesso giorno.

Considerando due persone, la probabilità che entrambe siano nate in giorni diversi è

    \[ \left(\frac{364}{365}\right)^2=99,5\% \]

per cui

    \[ 1 - \left(\frac{364}{365}\right)^2=0,5\% \]

è la probabilità che invece ce ne sia almeno una nata il mio stesso giorno.

Quante persone ci vorranno per avere più del 50% di probabilità? Ce ne vorranno ben 253, perché

    \[ 1 - \left(\frac{364}{365}\right)^{253}=50.1\% \]

è la probabilità che tra 253 ce ne sia almeno una nata il mio stesso giorno. Come? Non 183 = \frac{365}{2}? No. Ne servono almeno 253. Paradossale, vero? Ma non è finita qui.

Proviamo a calcolare qual è la probabilità che in un gruppo di n persone ci siano almeno due persone nate lo stesso giorno. Come al solito calcoliamo la probabilità opposta, per tener conto di tutte le possibilità.

Con due persone la probabilità che non siano nate lo stesso giorno è:

    \[ \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \]

perché il primo può nascere in un giorno qualsiasi con probabilità \frac{365}{365}, mentre il secondo, per nascere in un giorno diverso da quello del primo ha solo 364 possibilità e quindi \frac{364}{365} è la probabilità, per comporre le probabilità basta moltiplicarle tra loro.

Con tre persone la terza persona ha a disposizione 363 giorni per nascere per non nascere lo stesso giorno di almeno una delle due precedenti, per cui la probabilità è: \frac{363}{365} e la probabilità composta è:

    \[ \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \]

Continuando, avremo via via, per un numero n di persone, la probabilità diventa:

    \[ 1 - \prod_{i=1}^{n} \frac{365-i+1}{365} \]

Sostituendo via via il numero n, il calcolo ci dice che per n=23 la probabilità supera il 50%.

Quindi bastano 23 persone, cioè la dimensione tipica di una classe italiana, per avere la probabilità maggiore del 50% di avere almeno due persone nate lo stesso giorno. Come? Non 183 = \frac{365}{2}? Già. Solo 23. Paradossale!

Ecco perché se ci affidiamo spesso alle nostre sensazioni potremmo sbagliare di molto il risultato atteso (almeno in matematica)!

Enrico Cirillo

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