Paradosso dell’informazione aggiunta: figli, sesso e giorni della settimana

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Nei problemi in cui ci viene chiesto di calcolare la probabilità che un certo evento accada o non accada, l’informazione è molto importante, perché permette di capire meglio i problemi che ci vengono sottoposti. Ma qualche volta aggiungere informazione potrebbe essere fuorviante, trarci in inganno. Vediamo un caso abbastanza famoso: il paradosso dei figli maschi nati di Domenica. Ma andiamo per ordine.

Se vi ponessero la domanda: “Una donna ha un figlio maschio e ha appena scoperto di aspettarne un altro: quale probabilità ha che questo secondo figlio sia anch’esso maschio?”, la risposta evidente è: “Il 50%“, perché il fatto che il primo sia maschio non implica nulla sul sesso del secondo, che quindi può nascere maschio o femmina in maniera equiprobabile.

Se vi ponessero la domanda: “Una donna aspetta due gemelli: quale probabilità ha di avere un solo figlio maschio?”, la risposta è meno evidente. Occorre infatti considerare che, per due figli, esistono quattro casi distinti: indicando con M il sesso maschile e con F quello femminile, i quattro casi sono: MF, MM, FM, FF, da cui si evince che ci sono il 50% di avere un solo figlio maschio (e il 50% di avere solo una figlia femmina), e non il 33% come si potrebbe pensare non valutando accuratamente lo spazio delle soluzioni possibili (la valutazione erronea ci porta a dire: due figli possono essere: due maschi, un maschio e una femmina, due femmine, quindi un solo maschio è il 33%).

Se vi ponessero la domanda: “Una donna aspetta due gemelli: quale probabilità ha di avere almeno un figlio maschio?”, la risposta è meno evidente. Occorre infatti considerare che, per due figli, esistono quattro casi distinti: indicando come sopra con M il sesso maschile e con F quello femminile, i quattro casi sono sempre: MF, MM, FM, FF, da cui si evince che ci sono il 75% di avere almeno un figlio maschio (e il 75% di avere almeno una figlia femmina). Iniziamo qui a intravvedere il paradosso.

Se vi ponessero la domanda: “Ho due figli. Uno di loro è maschio. Che probabilità ho di avere due figli maschi?” la risposta è ancora meno evidente. I casi sono quelli indicati sopra, ma c’è un elemento che differenzia il problema: sapere che uno di loro è maschio modifica lo spazio delle soluzioni, per cui possiamo considerare solo tre casi possibili (MM, MF e FM, perché sono gli unici casi in cui c’è un figlio maschio) di cui solo uno valido, per cui la probabilità giusta è il 33% (e non il 25% – considerando sempre tutti i quattro casi – o il 50% – considerando solo il dato di avere un figlio maschio -, perché la probabilità è sempre il numero dei casi favorevoli diviso quelli possibili). Che cosa strana, anche perché se avessi chiesto “Ho due figli e il primo è maschio: che probabilità ho di avere due maschi?” la risposta giusta era ovviamente “il 50%“. L’informazione aggiunta (è il primo ad essere maschio) modifica l’insieme delle situazioni possibili tra cui contare quelle favorevoli alla soluzione. Il paradosso piano piano si insinua dentro di noi.

Se vi ponessero la domanda: “Ho due figli. Uno di loro è maschio ed è nato di Domenica. Che probabilità ho di avere due maschi?”. Qui l’evidenza sparisce proprio dietro i trabocchetti mentali che ci vengono mascherati dall’aumento di informazione. Perché mai sapere che un figlio maschio è nato di Domenica cambia le probabilità di avere due maschi?  Perché occorre tener conto di tutte le informazioni date, che possono modificare l’insieme delle situazioni possibili e di quelle favorevoli. Per sgombrare il campo dai dubbi occorre calcolare correttamente lo spazio delle soluzioni possibili e selezionare solo quelle che ci interessano al fine di risolvere il problema. Per aiutare a capire meglio ho creato queste quattro tabelle con tutti i casi possibili: i giorni di una settimana sono sette, i sessi possibili sono due e due sono i figli, e ipotizziamo che tutte le combinazioni siano equiprobabili.

Rendered by QuickLaTeX.com

Come si vede contando i casi indicati da una X (cioè quelli che indicano un figlio maschio nato di Domenica), ci sono 27 casi possibili, di cui 13 sono quelli favorevoli (nella tabella indicata da MM), per cui la probabilità richiesta è 13/27. Modificando l’informazione data in ipotesi cambia il valore della probabilità. Paradossale, eh?

L’insegnamento da trarre è che occorre sempre tener conto di tutti i dati, perché lo spazio delle soluzioni possibili cambia anche per modifiche considerate inessenziali, ma che hanno un impatto devastante se non considerate.

Enrico Cirillo

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