Premio Abel: ergodicità nella Teoria dei Numeri, in quella dei Gruppi e nell’Analisi Combinatoria

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Come molti di voi sanno non esiste il Premio Nobel per la Matematica: un aneddoto racconta che Alfred Nobel, inventore della dinamite, con i proventi di quella terribile invenzione abbia voluto lavarsi la coscienza istituendo un Premio annuale a suo nome per chi si distingueva in tutte le discipline scientifiche, nella Letteratura e per chi faceva qualche gesto importante per la Pace ma, non sopportando la Matematica, non gliene dedicò uno.

Ad ogni modo nel 2001 il re di Norvegia Harald V volle istituire un Premio annuale dedicato agli studiosi stranieri di Matematica, dedicandolo a Niels Henrik Abel, il primo matematico norvegese che raggiunse la notorietà mondiale per i suoi risultati nella Teoria delle Funzioni e in Algebra, nel bicentenario della sua nascita (1802). Già Marius Sophus Lie, altro eminente matematico norvegese, pensò di istituire un Premio per i matematici nel centenario della nascita di Abel, ma la divisione del regno di Svezia da quello di Norvegia del 1905 portò all’accantonamento del progetto.

Come sappiamo esistono vari premi per i matematici, come il Premio Wolf, la Medaglia Cantor, o la Medaglia Fields, e molti vincitori del Premio Abel hanno vinto anche questi premi; anche i due vincitori che si divideranno la vincita quest’anno non sono da meno.

Quest’anno Hillel Furstenberg, israeliano e Grigorij Margulis, russo, si sono divisi il Premio Abel (che ammonta a circa 650.000 Euro), per le loro ricerche sull’ergodicità applicata alla Teoria dei Numeri, alla Teoria dei Gruppi e all’Analisi Combinatoria. Ma cos’è l’ergodicità?

La parola “ergòdico” è un aggettivo che deriva dal greco ἔργον «opera; energia» e ὁδός «via»; fu usato per la prima volta dal fisico tedesco Ludwig Boltzmann per indicare la traiettoria di una particella in un sistema fisico complesso di energia data.
Un sistema fisico è un sistema composto da una o più particelle e, per conoscerne l’evoluzione temporale date le condizioni iniziali (cioè lo scopo di ogni problema fisico), occorre trovare le equazioni del moto e della velocità di ogni singola particella del sistema. Ma quando un sistema fisico è composto da centinaia di migliaia di miliardi di miliardi di particelle, cioè da un numero di particelle compatibile col Numero di Avogadro (6.022 \times 10^{23}), allora le cose cambiano; il sistema fisico si dice “complesso”, le ordinarie conoscenze di Meccanica vengono trasformate secondo le tecniche della Meccanica Statistica e si trova l’andamento del sistema.

L’ipotesi ergodica di Boltzmann dice che un sistema fisico complesso evolverà nel tempo allo stesso modo se le condizioni delle variabili macroscopiche (volume, pressione, temperatura, che concorrono a determinare l’energia del sistema) iniziali sono le stesse. Un’intuizione, questa, che permetterà a Boltzmann di studiare i sistemi complessi, ricavando l’andamento medio di un sistema, senza tener conto dell’andamento di ogni singola particella (cosa mai vista prima in Fisica.

Quando un sistema dinamico si può definire ergodico? Cioè quando è lecito usare l’approccio ergodico per studiare un sistema fisico? Quando ci sono tante particelle in gioco. Ma tante quante (il Fisico deve farsi delle domande, anche rischiando di essere pedante!)? Non c’è un numero magico di particelle a partire dal quale il sistema si può ipotizzare che abbia un comportamento ergodico: l’idea di ergodicità è un’idea statistica, probabilistica: quello che sappiamo è che i risultati che si ottengono con quest’approssimazione rispecchiano l’andamento della realtà, e tanto basta.

Basta al Fisico, che è una persona che vuole scoprire come si evolvono i sistemi e quando la propria analisi modella la realtà ha trovato il suo scopo. Al matematico no, perché il Matematico ha bisogno di avere risposte precise, e una risposta del Fisico tipo “Modella bene la realtà, per cui mi basta“, al Matematico non è sufficiente.

Ci sono anche i sistemi quasi-ergodici, dove si ipotizza che le particelle del sistema non assumono tutte le configurazioni possibili, ma data una configurazione compatibile con l’energia totale, il sistema passerà arbitrariamente vicino a questa configurazione in un tempo limitato.

Per chiarire meglio l’idea di sistema ergodico pensiamo ad un biliardo bidimensionale con una biglia e un giocatore che la tira contro le sponde usando una stecca con uno scopo che può essere abbattere uno o più birilli o mandare la stessa biglia o altre biglie in buca: le infinite configurazioni che può assumere la biglia quando viene colpita dalla stecca dipendono da moltissimi parametri, come la posizione della stecca sulla superficie della biglia, la quantità di gesso sulla punta della stecca, il legno del biliardo, lo stato del tappeto, la maggiore o minore abilità del giocatore, la sua stanchezza, lo stress, ecc… La Fisica cerca di minimizzare i parametri approssimandoli; la Matematica vuole calcolare tutte le configurazioni possibili per ottenere il risultato; la Meccanica Statistica è il giocatore di biliardo che usa la stecca senza dover fare troppi calcoli, ma usando le variabili macroscopiche che conosce.

Un altro esempio utile per capire il metodo ergodico è una stanza buia di forma sconosciuta in cui un ubriaco, a cui è stato legato un GPS, cammina senza vedere dove sta andando (e quindi si alza, cammina in una direzione, poi si ferma, torna indietro, cambia direzione ancora, cade, …): dai dati (a prima vista casuali) del GPS è possibile, usando l’approccio ergodico, capire la forma della stanza. I robot che puliscono le stanze e si ricaricano da soli funzionano esattamente così.

Furstenberg e Margulis hanno fatto un salto logico molto interessante nella loro ricerca: questi due matematici hanno voluto applicare l’analisi ergodica a sistemi come la Teoria dei Numeri, la Teoria dei Gruppi e l’Analisi Combinatoria che, in linea di principio, si comportano come se fossero sistemi fisici complessi. Applicando un metodo statistico, ergodico, da giocatore di biliardo, hanno provato a cercare l’ordine in un sistema caotico: questa, che a prima vista sembra un’antinomia, è una delle branche più innovative della Matematica moderna. Il caos deterministico è la possibilità di trovare, in un sistema caotico, dei parametri generali che permettano di calcolare non l’andamento di una singola particella ma quello dell’intero sistema. Le stelle sembrano messe a caso in cielo, ma gli antichi Greci trovarono la maniera di riconoscerle tramite le costellazioni: videro cioè una struttura regolare in cose che regolari non sono.: Furstenberg trovò una struttura regolare negli insiemi infiniti di numeri casuali, mentre Margulis trovò delle regolarità nelle progressioni di numeri primi.

La probabilità è molto meno casuale e molto più deterministica di quanto si possa pensare!

Enrico Cirillo

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